Soit `a, b ` deux réels tels que ` -2 < a < -1 ` et ` -1 < b < 2 ` on pose `E= 4a^2+4a -b^2+2b-3 `

1) Donner un encadrement du nombre `E`

2) Vérifier que `E = (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 `

3) Donner un autre encadrement de `E `

4) Comparer l ' amplitude de chaque encadrement

1) donner un encadrement du nombre `E`

Soit `a, b ` deux réels tels que ` -2 < a < -1 ` et ` -1 < b < 2 ` on pose `E= 4a^2+4a -b^2+2b-3 `

Encadrement de `4a^2`

on a ` -2 < a < -1 `

`=> 1 < -a < 2 `

`=> 1^2 <( -a)^2 < 2^2 `

`=> 1 < a^2 < 4 `

`=> 4 < 4a^2 < 16 `

`=> 4 < 4a^2 < 16 ` 1

Encadrement de `4a`

on a ` -2 < a < -1 `

` => -8 < 4a < -4 ` 2

Encadrement de `-b^2`

on a ` -1 < b < 2 `

si ` -1 < b <= 0 `

`=> 0 <= -b < 1 `

`=> 0 <= (-b)^2 < 1^2 `

`=> 0 <= b^2 < 1 `

si ` 0 <= b < 2 `

` => 0 <= b^2 < 2^2 `

` => 0 <= b^2 < 4 `

d'ou dans tous les cas `0 <= b^2 < 4 `

`=>- 4 < -b^2 <= 0 ` 3

Encadrement de `2b-3`

on a ` -1 < b < 2 `

` => -1xx2 < 2xxb < 2xx2 `

` => -2 < 2b < 4 `

` => -2-3 < 2b-3 < 4-3 `

` => -5 < 2b-3 < 1 ` 4

---

de 1 et 2 et 3 et 4
on déduit que ` -5 -4 -8 +4 < 2b -3 -b^2 +4a +4a^2 < 1 +0 -4 +16 `

` => -13 < 2b -3 -b^2 +4a +4a^2< 13 `

` => -13 < E < 13 `

l'amplitude de cet encadrement est `13 -(-13) = 26 `

2) Vérifier que `E = (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 `

on a `(2a+1)^2= (2a)^2+4a+1 = 4a^2+4a+1 `

on a `(b-1)^2= b^2-2b +1 `

`=> (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 = 4a^2+4a+1 -(b^2-2b +1) -3 `

`=> (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 = 4a^2+4a+1 -b^2+2b -1 -3 `

`=> (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 = 4a^2+4a -b^2+2b -3 `

`=> (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 =E`

`=> E = (2a+1)^2 -(b-1)^2 -3 `